Пособие по стереометрии онлайн

Куб – это правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом. Является частным случаем параллелепипеда

Куб состоит из:
  6 равных граней(фигура ограничивающая куб) - ABCD, AA₁D₁D, DD₁C₁C, BB₁C₁C, BB₁A₁A, A₁B₁C₁D₁
  12 рёбер(стороны граней куба) - AB, BC, CD, AD, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, A₁D₁
  8 вершин(концы ребер куба) - A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

По длине ребра куба

По длине диагонали куба

По длине диагонали ребра куба

S = 6a²
a - длина ребра куба

a=

S = 2d²
d - диагональ куба

d=

S = 3l²
l - диагональ ребра куба

l=

V = a³
a - длина ребра куба

a=

Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центре ее основания.

Правильная пирамида состоит из:
  1 основания являющегося правильным n-угольником(многоугольник лежащий против вершины пирамиды) - ABCD
  1 вершины (точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания) - S
  n боковых рёбер(стороны граней пирамиды) - SB, SC, SA, AD

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

$S = Sосн + \frac{1}{2} Pl$
S_осн - площадь основания
P - периметр основания
l - длина апофемы

P=

l=

S_осн=

По площади основания

Для правильной треугольной пирамиды

Для правильной четырёхугольной пирамиды

$V = \frac{1}{3} Sосн·h$
S_осн - площадь основания
h - высота

h=

S_осн=

$V = \frac{ha²}{4 \sqrt{3}}$
a - сторона основания
h - высота

h=

a=

$V = \frac{1}{3} h·a²$
a - сторона основания
h - высота

h=

a=

Тетраэдр - это разновидность пирамиды, гранями которого являются треугольники. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.

Тетраэдр состоит из:
  4 граней(фигура ограничивающая тетраэдр) - ABC, ASB, BSC, ASC
  6 рёбер(стороны граней тетраэдра) - AC, AB, CB, AS, BS, CS
  4 вершин(концы ребер тетраэдра) - A, B, C, S

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

$S = \sqrt{3} a²$
a - длина ребра тэтраэдра

a=

По площади грани и высоте

По длине ребра

$V = \frac{1}{3} Sh$
h - высота
S - площадь грани

S_осн=

h=

$V = \frac{a³ \sqrt{2}}{12}$
a - длина ребра тэтраэдра

a=

Усечённая пирамида — часть пирамиды, оставшаяся между его основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию.

Усечённая пирамида состоит из:
2 оснований являющихся n-угольникоми(парлельные многоугольники ограничивающие пирамиду) - ABCD, A₁B₁C₁D₁
n боковых граней(треугольники имеющие с пирамидой общую вершину и вершина которых совпадает с гранью основания) - AA₁D₁D, AA₁B₁B, BB₁C₁C, DD₁C₁C

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

S = (a₁ + a₂)/2 * l + S₁ + S₂
a₁,a₂ - длина первого и второго ребра
l - апофема
S₁,S₂ - площадь первого и второго основания

a₁=

a₂=

l=

S₁=

S₂=

$V = \frac{1}{3} h (S₁+ \sqrt{S₁S₂} +S₂)$
h - высота пирамиды
S₁ - площадь первого основания
S₂ - площадь второго основания

h=

S₁=

S₂=

Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью. Тело вращения, образованное при вращении прямоугольника.

Цилиндр состоит из:
2 оснований(парллельные круги ограничивающие цилиндр) - голубая поверхность
1 цилиндрической поверхности(боковая поверхность цилиндра) - оранжевая поверхность

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

Площадь полной поверхности

Площадь боковой поверхности

S = 2πr(r+h)
h - высота цилиндра
r - радиус основания
π - константа равная 3.14

r=

h=

S = 2πhr
h - высота цилиндра
r - радиус основания
π - константа равная 3.14

h=

r=

По площади основания

По радиусу основания

V = S_оснh
h - высота цилиндра
S_осн - площадь основания

h=

S_осн=

V = πr²h
h - высота
r - радиус основания
π - константа равная 3.14

h=

r=

Конус — тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с гранцей L. Конус — это тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Конус состоит из:
  1 основания(круг лежащий против вершины конуса) - голубая поверхность
  1 конической поверхности(боковая поверхность конуса) - оранжевая поверхность
  1 вершины(точка пересечения всех его образующих) - S

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

Площадь полной поверхности

Площадь боковой поверхности

Через радиус и образующую

Через радиус и высоту

S = πr(r+l)
h - высота
l - образующая
π - константа равная 3.14

l=

r=

$S = πr(r+ \sqrt{r²+h²})$
h - высота
r - радиус основания
π - константа равная 3.14

h=

r=

Через радиус и образующую

Через радиус и высоту

S = πrl
r - радиус основания
l - образующая
π - константа равная 3.14

l=

r=

$S = πr \sqrt{r²+h²}$
h - высота
r - радиус основания
π - константа равная 3.14

h=

r=

Через радиус и высоту

Через высоту и площадь основания

$V = \frac{1}{3} πr²h$
h - высота
r - радиус основания
π - константа равная 3.14

h=

r=

$V = \frac{1}{3} Sосн·h$
h - высота цилиндра
S_осн - площадь основания

h=

S_осн=

Усечённый конус — часть конуса, оставшаяся между его основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию.

Усечённый конус состоит из:
2 оснований(параллельные круги ограничивающие усечённый конус) - голубая поверхность
1 конической поверхности(боковая поверхность усечённого конуса) - оранжевая поверхность

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

Площадь полной поверхности

Площадь боковой поверхности

S = π(lr₂+lr₁+r₁²+r₂²)
l - образующая
r₁ - радиус первого основания
r₂ - радиус первого основания
π - константа равная 3.14

l=

r₁=

r₂=

S = πl(r₁+r₂)
l - образующая
r₁ - радиус первого основания
r₂ - радиус первого основания
π - константа равная 3.14

l=

r₁=

r₂=

$V = \frac{1}{3} πh(r₁²+r₁r₂+r₂²)$
h - высота
r₁ - радиус первого основаня
r₂ - радиус первого основания
π - константа равная 3.14

h=

r₁=

r₂=

Параллелепипед – это многогранник, каждая грань которого является параллелаграмом.

Параллелепипед состоит из:
  6 граней(фигура ограничивающая параллелепипед) - ABCD, AA₁D₁D, DD₁C₁C, BB₁C₁C, BB₁A₁A, A₁B₁C₁D₁
  12 рёбер(стороны граней параллелепипеда) - AB, BC, CD, AD, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, A₁D₁
  8 вершин(концы ребер параллелепипеда) - A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

S = 2(ab+bc+ac)
a - сторона a
b - сторона b
c - сторона с

a=

b=

c=

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём наклонного параллелепипеда

V = abc
a - сторона a
b - сторона b
c - сторона с

a=

b=

c=

V = S_оснh
h - высота
S_осн - площадь основания

h=

S_осн=

Призма — многогранник образованный двумя параллельными равными многоугольниками, боковые грани являются параллелограммами. На примере шестиугольная призма.

Призма состоит из:
2 оснований являющихся двумя равными n-угольникоми(параллельные многоугольники ограничивающие призму) - ABCDEF, A₁B₁C₁D₁E₁F₁
n боковых граней(параллелограммы имеющие с основаниями призмы два обших ребра) - AA₁F₁F, AA₁B₁B, BB₁C₁C, CC₁D₁D, DD₁E₁E, EE₁F₁F

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

S = 2S_осн+P_осн·h
h - высота
S_осн - площадь основания

P_осн=

h=

S_осн=

V = S_оснh
h - высота
S_осн - площадь основания

h=

S_осн=

Сфера — это геометрическое тело, состоящее из всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Вычислить площадь - S

Вычислить объём - V

Через радиус

Через диаметр

Через длину окружности

S = 4πr²
r - радиус сферы

r=

S = πd²
d - диаметр сферы

d=

$V = \frac{l²}{π}$
l - длина окружности сферы

l=

Через радиус

Через диаметр

Через длину окружности

$V = \frac{4}{3} πr³$
r - радиус сферы

r=

$V = \frac{1}{6} πd³$
d - диаметр сферы

d=

$V = \frac{l³}{6 π²}$
l - длина окружности сферы

l=